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第5节 · 典型例题

Worked Examples

典型例题精讲

每题给出「题目 → 思路 → 步骤 → 结果 → 小结」，先自己算再看答案。三题的数值均可在第 5 节的两个在线工具中复核。

例 1 · 10 kV 配电系统三相短路电流、冲击电流与短路容量

题目：某 10 kV 配电系统，取基准容量 SB = 100 MVA、平均额定电压 Uav = 10.5 kV。已知：① 110 kV 侧系统短路容量 Sk = 500 MVA；② 主变压器 SN = 50 MVA，Uk% = 10.5；③ 10 kV 电缆线路长 1.5 km，单位长度电抗 x1 = 0.08 Ω/km。忽略电阻与负荷，短路点取 10 kV 母线 k。求：等值电抗 X*Σ、短路电流 I″、冲击电流 ish、全电流最大有效值 Ish 与短路容量 S″，并给出断路器选型要求。

  1. 建模与假设：按标幺值法计算，全网统一基准 SB = 100 MVA；各电源次暂态电势取 E″ = 1.0∠0°；忽略电阻、负荷与线路电容；用平均额定电压法避免变比折算。ZB = Uav2/SB = 10.52/100 = 1.1025 Ω，IB = SB/(√3 Uav) = 100/(√3 × 10.5) = 5.4986 kA。
  2. 元件参数归算：系统等值电抗 Xs* = SB/Sk = 100/500 = 0.200；变压器 XT* = (Uk%/100) · (SB/SN) = 0.105 × (100/50) = 0.210；电缆 XL* = x1l SB/Uav2 = 0.08 × 1.5 × 100/110.25 = 0.1088。
  3. 网络化简（串联）：短路点 k 到电源只有一条串联路径，无需星三角变换，X*Σ = 0.200 + 0.210 + 0.1088 = 0.5188。
  4. 计算短路电流：I″* = 1/X*Σ = 1/0.5188 = 1.9275；I″ = IB/X*Σ = 5.4986/0.5188 = 10.599 kA（三相对称，三相电流相同）。
  5. 冲击电流与全电流最大有效值：10 kV 网络取 Ksh = 1.8，ish = √2 × 1.8 × 10.599 = 2.5456 × 10.599 = 26.98 kA；Ish = 10.599 × √(1 + 2 × 0.82) = 10.599 × 1.5100 = 16.00 kA。
  6. 短路容量：S″ = √3 UavI″ = SB/X*Σ = 100/0.5188 = 192.8 MVA（约占系统短路容量 500 MVA 的 38.6%）。
  7. 选型校核：断路器额定开断电流 INbr ≥ I″ = 10.6 kA，可选 16 kA 或 20 kA 档；动稳定电流（峰值）ies ≥ ish = 27.0 kA，选 40 kA 峰值档；热稳定需满足 Ith2tth ≥ I″2tk，取 tk = 1 s 时要求 Ith ≥ 10.6 kA。
结果 X*Σ = 0.5188 IB = 5.4986 kA I″ = 10.599 kA
ish = √2 × 1.8 × 10.599 = 26.98 kA Ish = 16.00 kA S″ = 192.8 MVA
小结：三相短路的核心就是"三元件串联 + 一个除法"：X*Σ 由串并联化简得到，I″ = IB/X*Σ。请注意三个易被忽略的量纲问题：IB 用平均额定电压而非额定电压；XT* 必须按 SB/SN 折算；S″ 与 I″ 是同一件事的两种表达（S″ = √3UavI″）。把 X*Σ = 0.5188、SB = 100 MVA、Uav = 10.5 kV、Ksh = 1.8 输入工具 1，可逐项复核上方结果。

例 2 · 用复合序网计算 110 kV 系统单相接地短路电流

题目：某 110 kV 系统，取 SB = 100 MVA、Uav = 115 kV。短路点 k 处已化简的序电抗为 X1Σ = 0.25、X2Σ = 0.25、X0Σ = 0.10（均为标幺值），E″ = 1.0∠0°。求：a 相单相接地时短路点的各序电流、故障相电流有名值 Ik(1)、接地电流 3I0，并分析非故障相电压。

  1. 写边界条件：a 相金属性接地，İb = İc = 0，Ua = 0。经对称分量变换得到序量关系 İa1 = İa2 = İa0 = İa/3（三个序电流相等），这正是"三序网络串联"的由来。
  2. 连复合序网：三序网络在短路点串联，从正序网络看进去的总电抗为 X1Σ + XΔ，其中附加电抗 XΔ = X2Σ + X0Σ = 0.25 + 0.10 = 0.35。
  3. 求正序电流：İa1 = E″/(X1Σ + XΔ) = 1.0/(0.25 + 0.35) = 1.6667∠−90°（标幺值；纯电抗网络中电流滞后电动势 90°）。于是 İa2 = İa0 = 1.6667∠−90°。
  4. 合成故障相电流：İa = İa1 + İa2 + İa0 = 3 × 1.6667 = 5.000∠−90°（标幺值）。基准电流 IB = SB/(√3 Uav) = 100/(√3 × 115) = 0.50204 kA，故 Ik(1) = 5.000 × 0.50204 = 2.510 kA。
  5. 接地电流：3I0 = 3 × 1.6667 = 5.000（标幺）= 2.510 kA，与故障相电流相等（金属性单相接地时二者恒相等），这就是零序过流保护的测量对象。
  6. 非故障相电压：Ua1 = E″ − jİa1X1Σ = 1.0 − 1.6667 × 0.25 = 0.5833；Ua2 = −jİa2X2Σ = −0.4167；Ua0 = −jİa0X0Σ = −0.1667。校核 Ua = 0.5833 − 0.4167 − 0.1667 = 0 ✓。再由合成式 Ub = α2Ua1 + αUa2 + Ua0 = −0.25 − j0.8660，得 |Ub| = √(0.252 + 0.86602) = 0.9014（标幺，相电压基准 115/√3 = 66.40 kV，即 59.9 kV）。
  7. 对比与结论：由于 X0Σ = 0.10 < X1Σ = 0.25，非故障相电压略低于额定值（0.9014）；若该系统改为中性点不接地（X0Σ → ∞），则可算得 |Ub| → √3 = 1.732，即非故障相电压升高至线电压水平，这是小电流接地系统必须限制带故障运行时间的原因。
结果 İa1 = İa2 = İa0 = 1.6667∠−90° İa = 5.000∠−90°
IB = 0.50204 kA Ik(1) = 3I0 = 2.510 kA |Ub| = 0.9014（59.9 kV）
小结：单相接地计算的骨架是"三序串联、电流三分"。请务必练习"先写边界条件、再连序网、后算电流、最后合成相量"四步流程。复核方法：把 İa = 2.510 kA∠−90°、İb = İc = 0 输入工具 2，应得到三个序分量都是 0.8367 kA∠−90°，与 2.510/3 = 0.8367 kA 完全一致；这也正是对称分量法"分解与合成互逆"的直接验证。

例 3 · 同一系统四种短路类型的对比计算（含零序网络分析）

题目：仍取例 2 的系统：SB = 100 MVA、Uav = 115 kV、X1Σ = X2Σ = 0.25、X0Σ = 0.10、E″ = 1.0。分别计算三相短路、两相短路、两相接地短路与单相接地短路的短路点电流（标幺值与有名值），排出大小顺序并解释原因；同时说明若把 X0Σ 改为 0.40（中性点接地台数减少）后结论如何变化。

  1. 三相短路：XΔ = 0，Ia1 = 1.0/0.25 = 4.000。Ik(3) = 1 × 4.000 = 4.000（标幺）= 4.000 × 0.50204 = 2.008 kA。
  2. 两相短路（b-c）：正序与负序并联，XΔ = X2Σ = 0.25，Ia1 = 1.0/(0.25 + 0.25) = 2.000；两相短路电流为故障相电流 Ik(2) = √3 Ia1 = 3.464（标幺）= 1.739 kA。与三相之比 = √3/2 = 0.866，这是 X1Σ = X2Σ 时的经典结论。相量形式：İb = 3.464∠180°、İc = 3.464∠0°（标幺）。
  3. 两相接地短路（b-c-g）：三序并联，XΔ = X2Σ || X0Σ = (0.25 × 0.10)/(0.25 + 0.10) = 0.07143，Ia1 = 1.0/(0.25 + 0.07143) = 3.1111。由并联分流得 İa2 = −İa1X0Σ/(X2Σ+X0Σ) = −0.8889，İa0 = −İa1X2Σ/(X2Σ+X0Σ) = −2.2222。用合成式得故障相电流 |İb| = |İc| = 4.8074（标幺）= 2.414 kA。
  4. 单相接地短路（a）：见例 2，Ik(1) = 5.000（标幺）= 2.510 kA。
  5. 排序与解释：单相 2.510 > 两相接地 2.414 > 三相 2.008 > 两相 1.739。根本原因是 X0Σ = 0.10 < X1Σ = 0.25：单相接地时三序串联的等值电抗 (0.25+0.25+0.10)/3 = 0.200 < 0.25，故其电流大于三相短路。若 X0Σ = 0.40：两相接地 XΔ = 0.25 × 0.40/(0.25 + 0.40) = 0.15385，Ia1 = 1/(0.25 + 0.15385) = 2.4762，系数 m = √3 × √(1 − 0.25 × 0.40/0.652) = 1.7321 × 0.8737 = 1.5133，故 Ik(1,1) = 1.5133 × 2.4762 = 3.747（标幺）；单相接地 Ik(1) = 3/(0.25 + 0.25 + 0.40) = 3.333（标幺）；两相仍为 3.464（标幺）。此时排序变为 三相 4.000 > 两相接地 3.747 > 两相 3.464 > 单相 3.333，可见故障电流排序完全由 X0Σ/X1Σ 决定。
  6. 零序网络的制定要点：本题的 X0Σ 由"短路点 → 线路零序电抗 → 变压器中性点接地点 → 大地"这条通路决定：线路取 X0L ≈ 3.5X1L，变压器按 Y0/Δ 取零序电抗 ≈ 正序值，Y 侧中性点不接地的变压器整体从零序网中删去。中性点接地台数越少，并联的零序通路越少，X0Σ 越大。
  7. 工程含义：220 kV 及以上直接接地系统的单相接地电流可能超过三相短路电流，因此设备选型必须比较所有故障类型取最严重者；110 kV 及以下中性点非直接接地系统的单相接地电流被限制在较小值，此时三相短路才是校核工况，但必须按 √3 倍相电压校核非故障相绝缘。
结果（X0Σ = 0.10，SB = 100 MVA，Uav = 115 kV，IB = 0.50204 kA） 三相：Ik(3) = 4.000（标幺）= 2.008 kA
两相：Ik(2) = 3.464（标幺）= 1.739 kA = 0.866 Ik(3)
两相接地：Ik(1,1) = 4.807（标幺）= 2.414 kA 三相接地：Ik(1) = 5.000（标幺）= 2.510 kA
排序：单相接地 > 两相接地 > 三相 > 两相（当 X0Σ < X1Σ）
小结：本题是"用数字打破直觉"的典型：很多同学记成"三相短路一定最大"，但在中性点直接接地的超高压系统中，单相接地电流往往才是最大。做题顺序建议固定为：① 求 X1Σ、X2Σ、X0Σ；② 对每种故障算 XΔ 与 m；③ 用 Ia1 = E/(X1Σ+XΔ) 求正序电流；④ 乘 m 得故障相电流；⑤ 乘 IB 得有名值。四类故障的相量还可输入工具 2 做合成/分解互检。
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