第5节 · 典型例题

Worked Examples

典型例题精讲

每题给出「题目 → 思路 → 步骤 → 结果 → 小结」，先自己算再看答案。三题的算例参数前后衔接，数值均已用独立程序复核，内部自洽。

例 1 · 3 节点系统节点导纳矩阵与节点功率方程

题目：某 3 节点系统（基准 S_B = 100 MVA，U_B = 220 kV），支路参数（标幺值）如下：

支路	R	X	B（总充电）	变比 k
① 1—2	0.02	0.20	0.02	1.00
② 2—3	0.02	0.20	0.02	1.00
③ 1—3（含非标准变比变压器）	0.01	0.20	0.00	1.05

节点 1 为平衡节点，V₁ = 1.05∠0°；节点 2、3 为 PQ 节点。试求节点导纳矩阵 Y，写出节点功率方程，并计算平启动（V = [1.05, 1.0, 1.0]、θ = [0, 0, 0]）时各节点的注入功率计算值。

求各支路导纳：支路 ①、② 参数相同， y₁₂ = 1/(0.02 + j0.20) = 0.4950 − j4.9505；支路 ③ y₁₃ = 1/(0.01 + j0.20) = 0.2494 − j4.9875，变比 k = 1.05（k² = 1.1025）。
按规则累加对角元：对地支路取充电的一半 B/2 = 0.01； Y₁₁ = (y₁₂ + j0.01) + (y₁₃/k²) = (0.4950 − j4.9405) + (0.2262 − j4.5238) = 0.7212 − j9.4643。
非标准变比处理：支路 ③ 的互导纳为 −y₁₃/k = −(0.2494 − j4.9875)/1.05 = −0.2375 + j4.7500；而节点 3 侧对角元取 y₁₃ 本身。
写出完整 Y 阵（对称）：

节点导纳矩阵（标幺值） Y =
[ 0.7212 − j9.4643　 −0.4950 + j4.9505　 −0.2375 + j4.7500 ]
[ −0.4950 + j4.9505　 0.9901 − j9.8810　 −0.4950 + j4.9505 ]
[ −0.2375 + j4.7500　 −0.4950 + j4.9505　 0.7444 − j9.9280 ]

节点功率方程（复数形式）：对每个节点列 S_i = V_i Σ_j Y_ij^* V_j^*，例如节点 2：

节点 2 的功率方程 S₂ = V₂ [ Y₂₁^*V₁^* + Y₂₂^*V₂^* + Y₂₃^*V₃^* ]
Y₂₂ = 0.9901 − j9.8810　Y₂₁ = Y₂₃ = −0.4950 + j4.9505

平启动注入功率计算：取 V₁ = 1.05∠0°、V₂ = V₃ = 1.0∠0°，由上式逐项相乘相加得到（结果已用程序复核）：

平启动时的注入功率计算值 S₁ = 0.025990 + j0.248876　　S₂ = −0.024752 − j0.267525　　S₃ = 0.000000 − j0.010000

小结：① Y 阵只与网络结构和参数有关，与运行变量（V、θ）无关，潮流迭代中保持不变，这是「形成一次、反复使用」的基础。② 平启动下 θ_ij = 0，各节点注入不为零，说明平启动只是「电压为 1、相角为 0」的初值假设，并非解本身——例 2 将从这里开始迭代修正。③ 检验 Y 阵正确性的两个快招：是否对称、非对角元是否等于 −y/k（无变压器时等于 −y）。

例 2 · 2 节点系统牛顿-拉夫逊法迭代计算

题目：某 2 节点系统如图：节点 1 为平衡节点，V₁ = 1.05∠0°；节点 2 为 PQ 节点，负荷 S₂ = −0.2913 − j0.1081（标幺值，即 −29.13 − j10.81 MVA）。线路 R = 0.02、X = 0.20、B = 0.02。试用牛顿-拉夫逊法从平启动（V₂ = 1.0、θ₂ = 0）出发完成迭代，并与高斯-赛德尔法对比收敛速度。

形成导纳：y = 1/(0.02 + j0.20) = 0.4950 − j4.9505，B/2 = 0.01，故 Y₁₁ = Y₂₂ = 0.4950 − j4.9405，Y₁₂ = Y₂₁ = −0.4950 + j4.9505。
算平启动失配量：节点 2 的功率计算值为 P₂^c = −0.024752、Q₂^c = −0.257525，于是 ΔP₂ = −0.291280 − (−0.024752) = −0.266527， ΔQ₂ = −0.108094 − (−0.257525) = +0.149431。
形成雅可比矩阵（未知量为 Δθ₂ 与 ΔV₂，按 [H N; M L] 排列）： H₂₂ = ∂P₂/∂θ₂ = 5.198020， N₂₂ = ∂P₂/∂V₂ = 0.470297， M₂₂ = ∂Q₂/∂θ₂ = −0.519802， L₂₂ = ∂Q₂/∂V₂ = 4.682970。
解修正方程求修正量：用克拉默法则解 2×2 方程组。

第 1 次迭代修正方程（V2 用 ΔV2/V2 形式时 N、L 列需乘 V2，此处直接取 ΔV2） [ −0.266527 ; +0.149431 ] = [ 5.198020　0.470297 ; −0.519802　4.682970 ] · [ Δθ₂ ; ΔV₂ ]
Δθ₂ = −0.053623 rad　　ΔV₂ = +0.025957
⟹ V₂ = 1.0 + 0.025957 = 1.025957，θ₂ = −0.053623 rad = −3.0724°

继续迭代（残差按平方规律衰减，体现二次收敛）：

迭代次数	max\|ΔP, ΔQ\|	V₂	θ₂ / °
0（平启动）	2.665×10⁻¹	1.000000	0.0000
1	1.170×10⁻²	1.025957	−3.0724
2	2.891×10⁻⁵	1.023805	−3.0024
3	1.709×10⁻¹⁰	1.023800	−3.0023
4	6.5×10⁻¹⁶	1.023800	−3.0023

对照：同一算例用高斯-赛德尔法（迭代式 V₂^(k+1) = (1/Y₂₂)[ (S₂/V₂^*(k)) − Y₂₁V₁ ]），残差序列为：

高斯-赛德尔残差序列（线性收敛） 2.665×10⁻¹ → 1.377×10⁻² → 9.911×10⁻⁴ → 4.887×10⁻⁵ → 3.532×10⁻⁶ → 1.742×10⁻⁷ → 1.259×10⁻⁸（共 8 次迭代达到 10⁻⁸）
各轮 V₂：1.026145 → 1.023719 → 1.023808 → 1.023800 → 1.023800 → …（∠−3.1514° → −2.9914° → −3.0028° → −3.0023°）

最终结果 V₂ = 1.023800∠−3.0023°　　S₂ = −0.291280 − j0.108094
平衡节点 S₁ = 0.293080 + j0.104594，| S₁ | = 0.311185　（有功网损 0.001801 = |I|²R）

小结：① 牛顿法 3 次迭代即达 10⁻¹⁰ 量级，赛德尔法需 8 次才达 10⁻⁸，二次收敛与线性收敛的差别一目了然。② 首轮修正量偏大（V₂ 一步跳到 1.025957，越过了解 1.0238），这是牛顿法从平启动出发的正常现象，第二轮即迅速回归。③ 雅可比矩阵可用有限差分核对：数值导数与解析值在 10⁻⁶ 内一致（本例两者均为 5.198020、0.470297、−0.519802、4.682970）。

例 3 · 支路潮流、网损与电压降落计算

题目：一条 220 kV 输电线路（长度折算后标幺参数 R = 0.02、X = 0.20、总充电电纳 B = 0.10，基准 S_B = 100 MVA）。已知首端电压 U₁ = 1.05∠0°、末端电压 U₂ = 1.00∠−5°。试求线路两端功率、有功与无功损耗、电压降落的纵分量与横分量，并做校核。

求支路导纳与对地导纳： y = 1/(0.02 + j0.20) = 0.495050 − j4.950495，对地半充电导纳 jB/2 = j0.05。
算两端电压相量： U₁ = 1.05 + j0，U₂ = 1.00∠−5° = 0.996195 − j0.087156。
算首端电流与功率： I₁₂ = (y + jB/2)U₁ − yU₂ = 0.416793 − j0.198656， S₁₂ = U₁I₁₂^* = 0.481005 + j0.179252（48.10 + j17.93 MVA）。
算末端电流与功率： I₂₁ = (y + jB/2)U₂ − yU₁ = −0.438335 + j0.278290， S₂₁ = U₂I₂₁^* = −0.475812 − j0.232441（即末端吸收 47.58 MW、23.24 MVAr）。
求损耗：ΔS = S₁₂ + S₂₁ = 0.005194 − j0.053189（ΔP = 0.519 MW，ΔQ = −5.319 MVAr）。
电压降落：ΔU = U₁ − U₂ = 0.053805 + j0.087156，按 U₂ 的方向分解得纵分量 0.046004、横分量 0.091514，|ΔU| = 0.102426。

损耗校核（三种算法一致） ΔP = (|I₁₂|² + |I₂₁|²)·R/2 = (0.488876² + 0.529552²) × 0.02 / 2 = 0.005194 ✓
S₁₂ + S₂₁ = 0.481005 + (−0.475812) = 0.005193 ≈ 0.005194 ✓
ΔQ = (|I₁₂|² + |I₂₁|²)·X/2 − (U₁² + U₂²)·B/2 = 0.053211 − 0.105125 = −0.053189 ✓

关于无功损耗为负：对地充电导纳 B/2 是容性的，它向线路「注入」无功；当充电功率大于串联电抗消耗的无功时，ΔQ 为负，即线路对外呈容性（相当于无功电源）。本算例中两端充电无功合计 (U₁²+U₂²)·B/2 = 0.105125（p.u.，即 10.5125 MVAr），串联支路消耗的无功 (|I₁₂|²+|I₂₁|²)·X/2 = 0.053211，两者相减得 −0.051914；再计入充电电流在电阻上的附加项 I_c²X（I_c 为两端充电电流之差）后，总无功损耗为 −0.053189（−5.3189 MVAr，正是 S₁₂ + S₂₁ 的虚部）。对较长的高压线路或电缆，线路呈容性这一现象更明显。

项目	精确计算	近似公式 ΔU=(PR+QX)/U₂、δU=(PX−QR)/U₂	差异说明
电压降落纵分量	0.046004	0.050216	近似式用末端功率且忽略横分量影响，本例充电功率占比大，故偏大约 9%
电压降落横分量	0.091514	0.102313	近似式同样偏大，偏差约 12%（近似式中 P₂′、Q₂′ 为末端负荷折算到首端相量轴上的等效值）
\|ΔU\|	0.102426	√(0.050216² + 0.102313²) = 0.113970	精确值应把纵、横分量平方和开方；近似式略偏大

小结：① 有功损耗恒为正（I²R 必然耗能），无功损耗可正可负——本线路因充电功率较大，无功损耗为 −5.319 MVAr，即线路对外呈「无功电源」性质，这也是超高压线路末端电压有时偏高的原因。② 有功损耗率 = 0.005194 / 0.481005 = 1.080%，属于正常水平。③ 「纵分量 ΔU = (PR + QX)/U」与「横分量 δU = (PX − QR)/U」是近似式，用于快速估算：其前提是忽略横分量对电压幅值的影响、且把末端负荷折算到与首端电压同相位的参考轴上。本例近似值比精确值大约 10%，电压越低、输送功率越大时偏差越显著，精确计算应直接做复数运算。④ 得到支路功率后即可反推节点注入：末端负荷 = −S₂₁ = 0.475812 + j0.232441，这正是例 2 中 S₂ 的放大版本（例 2 为 2 节点简化算例）。