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第5节 · 典型例题

Worked Examples

典型例题精讲

每题给出「题目 → 思路 → 步骤 → 结果 → 小结」，先自己算再看答案。

例 1 · 单机无穷大系统的功角特性、静态稳定极限与储备系数

题目：某单机—无穷大系统（图略）：发电机 SN = 220 MVA、UN = 209 kV，X′d = 0.30（标幺，机组基准），机端变压器 XT = 0.14（220 MVA 基准），双回输电线路每回 XL = 0.45（220 MVA 基准，线路首端接无穷大母线），系统基准容量 SB = 220 MVA。
求：(1) 双回线运行时的 XΣ、PmaxⅠ 与静态稳定储备系数 Kp（E′ = U = 1.0，发电机输出 P0 = 1.0）；(2) 一回线检修、仅单回线运行时的 PmaxⅢ、运行功角 δⅢ 与 KpⅢ，并判断是否满足导则要求。

  1. 统一基准：三个电抗均已是 220 MVA 基准（机组基准与系统基准相同，X′d 无需折算），可直接相加。E′ = U = 1.0 使 Pmax = 1/XΣ。
  2. 双回线：XΣⅠ = 0.30 + 0.14 + 0.45/2 = 0.30 + 0.14 + 0.225 = 0.665；PmaxⅠ = 1/0.665 = 1.504（标幺）。
  3. 求运行功角与储备系数：sinδ0 = P0/PmaxⅠ = 1.0/1.504 = 0.6650 ⇒ δ0 = 41.68° = 0.7275 rad；Kp = (1.504 − 1.0)/1.0 × 100% = 50.4%。
  4. 单回线：XΣⅢ = 0.30 + 0.14 + 0.45 = 0.890；PmaxⅢ = 1/0.890 = 1.124（标幺）。
  5. 单回线运行功角与储备：sinδⅢ = 1.0/1.124 = 0.8900 ⇒ δⅢ = 62.87° = 1.0973 rad；KpⅢ = (1.124 − 1.0)/1.0 × 100% = 12.4%。
  6. 校核：正常运行方式要求 Kp ≥ 15%~20%，双回线 50.4% 富余充足；事故后（单回线）要求 ≥ 10%，12.4% 满足但余量不大，且 δⅢ = 62.87° 已较接近 90° 极限，说明单回线方式是该断面的控制工况。
结果XΣⅠ = 0.665  PmaxⅠ = 1.504  δ0 = 41.68°（0.7275 rad）  Kp = 50.4%
XΣⅢ = 0.890  PmaxⅢ = 1.124  δⅢ = 62.87°（1.0973 rad）  KpⅢ = 12.4%
小结：① 功角特性与储备系数是一体两面：Kp = 1/sinδ0 − 1，所以「看功角就知道储备」；② 电气距离（XΣ）每增加 0.225（从双回变单回），极限功率就下降 25.3%，运行功角从 41.68° 抬高到 62.87°，这正是「线路检修方式更容易失稳」的定量解释；③ 若需提高单回线方式储备，可投入串联电容补偿或调整发电机 E′（增磁运行），二者都等效于减小 XΣ。

例 2 · 用等面积定则求极限切除角与极限切除时间

题目：某单机—无穷大系统，TJ = 8 s，fN = 50 Hz（ωN = 314.159 rad/s），发电机输出 PT = 1.20（标幺）。发生一回线首端三相短路并切除该线路：故障前 PmaxⅠ = 1.80，故障中 PmaxⅡ = 0.50，故障后 PmaxⅢ = 1.60。
求：初始功角 δ0、不稳定平衡点 δmax、极限切除角 δcr、极限切除时间 tcr，并用加速面积与减速面积相互校核。

  1. 初始运行点：sinδ0 = PT/PmaxⅠ = 1.20/1.80 = 0.6667 ⇒ δ0 = 41.810° = 0.72973 rad。
  2. 不稳定平衡点：sinδmax = PT/PmaxⅢ = 1.20/1.60 = 0.7500，取钝角解 δmax = 180° − 48.590° = 131.410° = 2.29352 rad。
  3. 代入极限切除角公式：分子 = PT(δmax − δ0) + PmaxⅢcosδmax − PmaxⅡcosδ0 = 1.20×(2.29352 − 0.72973) + 1.60×(−0.66144) − 0.50×0.74536 = 1.87655 − 1.05830 − 0.37268 = 0.44557；分母 = PmaxⅢ − PmaxⅡ = 1.10。
  4. 解 δcr：cosδcr = 0.44557/1.10 = 0.40506 ⇒ δcr = 66.102° = 1.15371 rad（取第一象限解，因 δcr > δ0 且未超过 90°）。
  5. 算加速面积（同时就是极限可吸收能量）：A加 = PT(δcr − δ0) − PmaxⅡ(cosδ0 − cosδcr) = 1.20×0.42398 − 0.50×(0.74536 − 0.40506) = 0.50878 − 0.17015 = 0.33863（标幺·弧度）。
  6. 算减速面积校核：A减 = PmaxⅢ(cosδcr − cosδmax) − PT(δmax − δcr) = 1.60×(0.40506 + 0.66144) − 1.20×(2.29352 − 1.15371) = 1.70640 − 1.36777 = 0.33863，与 A加 完全相等，验证通过。
  7. 求极限切除时间：M = TJ/ωN = 8/314.159 = 0.025465 s²/rad；因 PT = 1.20 > PmaxⅡ = 0.50（故障期间持续加速），tcr = √(2M A加/(PT − PmaxⅡ)) = √(2×0.025465×0.33863/0.70) = √(0.024638) = 0.1570 s。
  8. 工程判断：本算例的 PmaxⅡ 很低（近端三相短路），故 tcr 仅 0.157 s，而实际「保护动作 + 断路器灭弧」全切除时间一般 0.10~0.15 s，裕度很小。若采用单相重合闸或快速保护把切除时间压到 0.10 s 以内则稳定；否则须采取切机、电气制动等措施，或校核「故障线路两侧断路器失灵」等更严重工况。
结果δ0 = 41.810° = 0.72973 rad   δmax = 131.410° = 2.29352 rad
cosδcr = 0.40506 ⇒ δcr = 66.102° = 1.15371 rad
A加 = A减 = 0.33863（标幺·rad）   M = 0.025465 s²/rad   tcr = 0.1570 s
小结：① 等面积定则把动态问题化成了纯几何面积计算，是手算校核的首选方法；② 「面积相等」既是求 δcr 的手段，也是检验计算结果是否自洽的标尺（本算例两个面积精确相等到小数点后 5 位）；③ tcr 对 PmaxⅡ 极其敏感——近端故障时 PmaxⅡ 很小、加速面积增长快，因此故障越靠近机端越危险，快速保护的价值也越大；④ 极限切除时间必须与保护整定、断路器动作时间、失灵保护配合一起校核。

例 3 · 摇摆方程的数值积分与极限切除时间估算

题目：系统参数同例 2（TJ = 8 s，PT = 1.20，PmaxⅠ = 1.80，PmaxⅡ = 0.50，PmaxⅢ = 1.60），故障切除时间设为 tc = 0.08 s、0.157 s（解析极限值）与 0.20 s 三种情形。
要求：用改进欧拉法（步长 Δt = 0.01 s）积分摇摆方程，给出切除瞬间的功角、首摆（及全过程）最大功角，判断稳定性，并与例 2 的解析结果对照，说明两种方法的差异。

  1. 初始条件：δ(0) = δ0 = 0.72973 rad，ω(0) = 0（ω 表示 dδ/dt，rad/s）。
  2. 故障期间（0 ≤ t < tc）：PE = 0.50 sinδ，加速度 α = (ωN/TJ)(PT − PE) = 39.2699(1.20 − 0.50 sinδ)。
  3. 故障切除后：PE = 1.60 sinδ，加速度 α = 39.2699(1.20 − 1.60 sinδ)，在 δ > 48.590° 时变为负值（减速）。
  4. 改进欧拉法递推：先用当前值预测 δ(0)k+1 = δk + Δtωk、ω(0)k+1 = ωk + Δtα(δk)；再用预测点算一次导数取平均校正：ωk+1 = ωk + (Δt/2)[α(δk) + α(δ(0)k+1)]，δk+1 = δk + (Δt/2)[ωk + ω(0)k+1]。
  5. 手算前两步：k=0 时 α0 = 39.2699(1.20 − 0.50×0.66667) = 39.2699×0.86667 = 34.034 rad/s²；预测 ω(0)1 = 0 + 0.01×34.034 = 0.34034 rad/s，δ(0)1 = 0.72973 + 0 = 0.72973 rad；校正（因 δ 基本未变，α 不变）：ω1 = 0.34034 rad/s，δ1 = 0.72973 + (0.01/2)(0 + 0.34034) = 0.73143 rad。 k=1 时 δ1 = 0.73143 rad = 41.907°，α1 = 39.2699(1.20 − 0.50×0.66798) = 39.2699×0.86601 = 34.007；预测 ω(0)2 = 0.34034 + 0.34007 = 0.68041，δ(0)2 = 0.73143 + 0.00340 = 0.73483 rad = 42.102°，α(δ(0)2) = 39.2699(1.20 − 0.50×0.67009) = 33.966；校正得 ω2 = 0.34034 + 0.005×(34.007 + 33.966) = 0.68021 rad/s，δ2 = 0.73143 + (0.01/2)(0.34034 + 0.68041) = 0.73653 rad。可见每步 ω 增加约 0.34 rad/s、δ 增加约 0.0034~0.0051 rad，δ 增长随 α 减小而逐渐放缓——这正是摇摆曲线「先加速、切除后减速、最后回落」的形态来源。
  6. 结果判读（改进欧拉法，Δt = 0.01 s，仿真 6 s）：
      · tc = 0.08 s：切除角 δc = 48.00°，切除后最大功角 75.09°（出现在 t ≈ 0.36 s），远小于 δmax = 131.41°，稳定；
      · tc = 0.157 s：切除角 δc = 65.21°（与解析 δcr = 66.104° 相差 0.9°），最大功角 121.05°，仍小于 δmax，稳定但裕度仅 10.4°；
      · tc = 0.20 s：切除角 δc = 79.20°，功角在 0.5 s 已达 164.96° 并继续单调增大，失去同步。
    以「8 s 内是否越过 δmax」为判据二分搜索，改进欧拉法给出的极限切除时间约 0.160 s，与解析值 0.1570 s 相差约 1.9%。
  7. 差异原因讨论：解析式 tcr = √(2M A加/(PT − PmaxⅡ)) 隐含了「故障期间匀加速」的近似（α 取常值），而真实轨迹中 PT − PmaxⅡsinδ 随 δ 增大而减小，加速度是逐渐衰减的，因此实际功角变化比匀加速假设略慢；两种方法的解在同一量级且趋势完全一致，工程上认为解析式用于快速估算、数值积分用于最终校核。若把步长从 0.01 s 减到 0.001 s，结果变化在 0.5° 以内，说明二阶精度的改进欧拉法已满足工程要求；更高精度可用四阶龙格—库塔法（同为 0.01 s 步长时误差再小一个量级）。
结果（改进欧拉法，Δt = 0.01 s，仿真 6 s；解析 δcr = 66.104°、t_cr = 0.1570 s）t_c = 0.08 s  ：δc = 48.00°  首摆最大功角 = 75.09°  → 稳定（裕度 56.3°）
t_c = 0.157 s：δc = 65.21°  首摆最大功角 = 121.05°  → 稳定（裕度 10.4°，接近临界）
t_c = 0.20 s  ：δc = 79.20°  δ(0.5 s) = 164.96°  → 失稳（功角单调增大，越过 δmax = 131.41°）
数值极限切除时间 t_cr ≈ 0.160 s，与解析解 0.1570 s 相差约 1.9%
小结：① 摇摆曲线是暂态稳定的「心电图」，读图三看：看首摆峰值是否超过 δmax、看是否存在第二个摆峰（首摆失稳与多摆失稳之分）、看振荡是否衰减（阻尼强弱）；② 数值积分与等面积定则在临界点附近结论一致（相差 2% 以内），但数值法可处理变加速度、多机系统、详细模型与保护时序，这是解析法做不到的；③ 工程上真正的极限切除时间由数值仿真给出，并须留出 5%~10% 的稳定裕度，不能直接使用理论临界值；④ tc = 0.157 s 与 0.20 s 两算例只差 0.043 s，稳定性结论却完全相反——这就是「快速切除故障」措施价值的定量体现。
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