第4节 · 重点难点解析

Deep Dive

重点难点深度解析

逐层展开：概念 → 原理 → 推导 → 应用，建议按顺序阅读。

01等耗量微增率准则的完整推导▼

问题描述。设系统有 n 台已开机机组，总负荷为 P_D，暂不计网损。第 i 台机组的耗量特性为 F_i(P_i) = a_iP_i² + b_iP_i + c_i，要求确定各机组出力使全系统总耗量（燃料费用）最小。

目标函数 min F_∑ = ∑_i=1ⁿ F_i(P_i) = ∑_i=1ⁿ ( a_iP_i² + b_iP_i + c_i )

等式约束（功率平衡） ∑_i=1ⁿ P_i − P_D = 0

不等式约束（出力上下限） P_min,i ≤ P_i ≤ P_max,i　　i = 1, 2, …, n

第一步：构造拉格朗日函数。把等式约束以乘子 λ 引入（不等式约束暂时不写，留待越限时处理）：

拉格朗日函数 L(P₁, …, P_n, λ) = ∑_i=1ⁿ F_i(P_i) + λ · ( P_D − ∑_i=1ⁿ P_i )

第二步：求极值的必要条件。对每个 P_i 与 λ 分别求偏导并令其为零：

平稳性条件 ∂L/∂P_i = dF_i/dP_i − λ = 0　　⇒　　dF_i/dP_i = λ　　(i = 1, …, n)
∂L/∂λ = P_D − ∑_i=1ⁿ P_i = 0

前 n 个式子即等耗量微增率准则：所有参与分配的机组微增率必须相等，并共同等于 λ；最后一式就是功率平衡。合计 n + 1 个方程，正好解 n + 1 个未知数（P₁…P_n, λ）。

第三步：代入二次特性求解析式。由 2a_iP_i + b_i = λ 得 P_i = (λ − b_i) / (2a_i)，代入功率平衡：

λ 的解析解（全部机组自由时） ∑_i (λ − b_i)/(2a_i) = P_D　　⇒　　λ = ( P_D + ∑_i b_i/(2a_i) ) / ∑_i 1/(2a_i)

要点：不能写成 (P_D + ∑b_i)/(2∑a_i)——那是把每个 P_i 当成了 (λ − b_i)/(2∑a) 的错误展开，是初学者最常犯的代数错误。正确做法是先写出 1/(2a_i) 这一「参与因子」。

第四步：三项校验。① 功率平衡 ∑P_i = P_D；② 每个 P_i 都在 [P_min,i, P_max,i] 内；③ 微增率单调递增（a_i > 0）保证是极小值而非极大值。

λ 的物理意义（三种等价读法） ① 系统边际成本：负荷再增加 1 MW，全系统最小燃料费用增加 λ 元/h；
② 影子价格：功率平衡约束的拉格朗日乘子，∂F_∑^min/∂P_D = λ；
③ 报价基准：电力市场中发电侧统一结算价的雏形（不计网损与阻塞时）。

第五步：特例讨论——a = 0 的效率恒定情形。若某机组 F_i = b_iP_i + c_i（a_i = 0），其微增率为常数 b_i，微增率曲线上是一条水平线，对 λ 完全不敏感。此时：若 b_i 小于系统 λ，该机组应尽可能带满至 P_max（或按爬坡约束的允许速度）；若大于 λ，则应压到 P_min。解不再是唯一的，而是一个区间上的任何一个满足平衡的分配，这就是「退化 / 多重最优解」现象。

易错点：① 把 λ 当成「平均成本」——λ 是边际成本，只有在 F(0) = 0 且 a = 0 时才恰好等于平均成本；② 认为「效率最高的机组应多发」——微增率最低（而非平均效率最高）的机组才应多发；③ 直接把 λ 代入求 P_i 而不回代校验功率平衡；④ 忘记校验上下限。

02计及网损的协调方程、罚因子与 B 系数▼

为什么必须计及网损。大系统中网损一般为总发电量的 3%~8%，高峰时段更大。若不考虑网损，会误让「远端大容量廉价机组」无限制多发，实际可能因输电损耗反而使总费用上升。计及网损后，功率平衡变为：

功率平衡（含网损） ∑_i=1ⁿ P_i = P_D + P_L，其中 P_L = P_L(P₁, P₂, …, P_n)

构造拉格朗日函数 L = ∑F_i(P_i) + λ(P_D + P_L − ∑P_i)。注意此时 P_L 是各 P_i 的函数，对 P_i 求偏导时不能漏掉它。

协调方程（合作方程 / coordination equation） ∂L/∂P_i = dF_i/dP_i + λ·∂P_L/∂P_i − λ = 0
⇒　dF_i/dP_i = λ · ( 1 − ∂P_L/∂P_i ) = λ / L_i

罚因子（惩罚因子 / penalty factor） L_i = 1 / ( 1 − ∂P_L/∂P_i )　　∂P_L/∂P_i 称为机组 i 的网损微增率

方向性判断（罚因子怎么用）。一般 0 < ∂P_L/∂P_i < 1，故 L_i ≥ 1。改写为 dF_i/dP_i = λ/L_i 可看出：L_i 越大（网损微增率越小），允许该机组的微增率越低，即应多发。物理直觉——越靠近负荷中心、其出力引起的网损越小的机组，越应该承担负荷。极端情形 ∂P_L/∂P_i → 0 时 L_i → 1，退化为无网损的等微增率准则。

B 系数法（网损公式） P_L = P^TBP + B₀^TP + B₀₀ = ∑_i∑_j P_iB_ijP_j + ∑_i B_0iP_i + B₀₀
∂P_L/∂P_i = 2∑_j B_ijP_j + B_0i

B 系数的物理含义与限制。B 矩阵由网络拓扑、线路参数（R、X）以及各节点负荷分配比例推导而来，因此与运行方式强相关：负荷水平变化、网络开环 / 闭环变化都会改变 B 系数。所以 B 系数法只适用于负荷水平与推导时相近的工况，跨度较大时应重新计算或者改用潮流法。

网损微增率的两种求法 ① B 系数法（离线、近似、快）：∂P_L/∂P_i = 2∑_jB_ijP_j + B_0i；
② 潮流法（在线、精确、慢）：基于潮流方程的转置雅可比矩阵求 ∂P_L/∂P_i，每次迭代需一次潮流与一次线性求解；现代 EMS / 现货市场出清程序多采用此法。

迭代求解流程（λ 迭代法）。

初值：令 P_L = 0，用等微增率准则求出各机组出力与 λ⁽⁰⁾。
算网损：用当前出力代入 B 系数公式算出 P_L 及各机组 ∂P_L/∂P_i、L_i。
修正分配：由 dF_i/dP_i = λ(1 − ∂P_L/∂P_i) 与功率平衡 ∑P_i = P_D + P_L 联立，更新 λ 与 P_i。
收敛判断：若 max|P_i^(k+1) − P_i^(k)| < ε（如 0.1 MW），停止；否则返回第 2 步。
校核：验算功率平衡 ∑P_i − P_D − P_L ≈ 0，并检查各机组是否越限。

易错点：① 把 P_L 当成常数放在功率平衡右边，不更新到下一步；② 罚因子方向搞反（写成 L_i = 1 + ∂P_L/∂P_i）；③ 忘记 B 系数法的适用工况限制，跨工况套用；④ 收敛后不校核平衡式，导致结果自相矛盾。

03无功优化与电压控制▼

无功优化。无功优化与有功经济调度耦合但不等同：无功只能就地平衡，长距离输送无功会引起巨大网损与电压跌落。目标函数常取加权形式：

无功优化目标 min f = w₁ · P_L + w₂ · ∑_k ( U_k − U^ref )² + w₃ · (越限罚项)

控制变量：发电机无功 Q_G（连续）、变压器分接头（离散）、并联电容器 / 电抗器组数（离散）、SVC / STATCOM 输出（近似连续）。离散变量常用「先按连续优化求最优值 → 再就近取整 → 用邻近档位做局部枚举 / 灵敏度排序」处理。

分层分区平衡原则。500 kV 主网、220 kV 区域网、110 kV 及以下配电网各自平衡无功；每层设电压中枢点，由 AVC 系统协调发电机 AVR、变压器有载调压与电容器投切，做到「无功不穿越变压器」。

易错点：① 把无功优化当作有功优化的附属，忽略电压约束；② 忽略控制变量的离散性，认为电容器可投切任意容量；③ 规划中只算投资不算运行费用与折现，导致「一次性投资最省」的错误结论；④ 用智能算法求解实时 ED 并声称「最优」。