第5节 · 典型例题
Worked Examples
典型例题精讲
每题给出「题目 → 思路 → 步骤 → 结果 → 小结」，先自己算再看答案。
例 1 · 两台机组二次耗量特性的等微增率经济调度
题目：某系统有两台火电机组，耗量（燃料费用）特性为
已知条件
F1(P1) = 0.004 P12 + 200 P1 + 1200 （¥/h）， 100 MW ≤ P1 ≤ 600 MW
F2(P2) = 0.005 P22 + 150 P2 + 1500 （¥/h）， 50 MW ≤ P2 ≤ 500 MW
系统总负荷 PD = 600 MW，不计网损。求最经济分配方案、系统边际成本 λ 与总费用。
F2(P2) = 0.005 P22 + 150 P2 + 1500 （¥/h）， 50 MW ≤ P2 ≤ 500 MW
系统总负荷 PD = 600 MW，不计网损。求最经济分配方案、系统边际成本 λ 与总费用。
思路：不考虑网损时直接用等耗量微增率准则，令两机组微增率相等并等于 λ，再联立功率平衡解方程；解出后必须作上下限校核，若越限则把该机组钳位到边界、对剩余负荷重新分配。
- 建模：写出微增率 dF1/dP1 = 0.008P1 + 200，dF2/dP2 = 0.010P2 + 150。
- （a）PD = 700 MW，先按无约束求解：由 0.008P1 + 200 = λ、0.010P2 + 150 = λ 得 P1 = 125λ − 25000，P2 = 100λ − 15000。
- 代入功率平衡：(125λ − 25000) + (100λ − 15000) = 700 ⇒ 225λ = 40000 + 2000 + 15000 + 25000，即 225λ = 47000 ⇒ λ = 208.8889 ¥/MWh。
- 求出力并校核：P1 = 125 × 208.8889 − 25000 = 26111.1 − 25000 = 111.11 MW（在 [100, 600] 内 ✔）；P2 = 100 × 208.8889 − 15000 = 20888.9 − 15000 = 588.89 MW（超出上限 500 MW ✘）。
- 越限修正：机组 2 顶到 Pmax,2 = 500 MW，其出力从总负荷中扣除，剩余 700 − 500 = 200 MW 由机组 1 单独承担：P1 = 200 MW。
- KKT 校核：λ 由自由机组 1 决定：λ = 0.008 × 200 + 200 = 201.60 ¥/MWh。机组 2 在上限，要求 dF2/dP2 = 0.010 × 500 + 150 = 200.0 ≤ λ = 201.60 ✔；机组 1 自由，100 < 200 < 600 ✔。KKT 全部满足，解最优。
- 确认可行：200 + 500 = 700 MW ✔。
（a）PD = 700 MW 结果
P1 = 200.00 MW（自由），P2 = 500.00 MW（到达上限）
系统边际成本 λ = dF1/dP1 = 0.008 × 200 + 200 = 201.600 ¥/MWh
F1 = 0.004 × 2002 + 200 × 200 + 1200 = 160 + 40000 + 1200 = 41360.00 ¥/h
F2 = 0.005 × 5002 + 150 × 500 + 1500 = 1250 + 75000 + 1500 = 77750.00 ¥/h
总费用 F∑ = 41360.00 + 77750.00 = 119110.00 ¥/h（单位电量成本 170.16 ¥/MWh）
系统边际成本 λ = dF1/dP1 = 0.008 × 200 + 200 = 201.600 ¥/MWh
F1 = 0.004 × 2002 + 200 × 200 + 1200 = 160 + 40000 + 1200 = 41360.00 ¥/h
F2 = 0.005 × 5002 + 150 × 500 + 1500 = 1250 + 75000 + 1500 = 77750.00 ¥/h
总费用 F∑ = 41360.00 + 77750.00 = 119110.00 ¥/h（单位电量成本 170.16 ¥/MWh）
（b）若负荷降为 PD = 600 MW：同样先按无约束求解——(125λ − 25000) + (100λ − 15000) = 600 ⇒ 225λ = 40000 ⇒ λ = 177.78 < 200，回代得 P1 为负值，说明机组 1 已被压到其下限以下，必须钳位后重新分配。
- 判别：λ < 200 时机组 1 的微增率 λ 小于其最小微增率 0.008 × 100 + 200 = 200.8，故机组 1 应压到下限 Pmin,1 = 100 MW。
- 二次分配：机组 2 承担剩余 600 − 100 = 500 MW，恰好等于其上限。
- KKT 校核：此时两台机组均到达限值——机组 1 在下限要求 dF1/dP1 = 200.8 ≥ λ，机组 2 在上限要求 dF2/dP2 = 200.0 ≤ λ。
- 结论：只要 λ ∈ [200.0, 200.8]，两个条件同时成立，故 λ 不唯一，而是落在这个区间内（典型的退化情形，本页工具一会如实提示「无自由机组，λ 不是唯一值」）。
（b）PD = 600 MW 结果
P1 = 100.00 MW（下限），P2 = 500.00 MW（上限）
λ ∈ [ 200.0, 200.8 ] ¥/MWh（不唯一）
F1 = 0.004 × 1002 + 200 × 100 + 1200 = 40 + 20000 + 1200 = 21240.00 ¥/h
F2 = 77750.00 ¥/h（与上同）
总费用 F∑ = 21240.00 + 77750.00 = 98990.00 ¥/h（单位电量成本 164.98 ¥/MWh）
λ ∈ [ 200.0, 200.8 ] ¥/MWh（不唯一）
F1 = 0.004 × 1002 + 200 × 100 + 1200 = 40 + 20000 + 1200 = 21240.00 ¥/h
F2 = 77750.00 ¥/h（与上同）
总费用 F∑ = 21240.00 + 77750.00 = 98990.00 ¥/h（单位电量成本 164.98 ¥/MWh）
对照检查：若把 600 MW 平均分配（各 300 MW）：F = (0.004 × 3002 + 200 × 300 + 1200) + (0.005 × 3002 + 150 × 300 + 1500) = (360 + 60000 + 1200) + (450 + 45000 + 1500) = 61560 + 46950 = 108510.00 ¥/h，比最优方案贵 9520.00 ¥/h——这就是优化的价值。
小结：① 解题顺序永远是「先按等微增率联立求解 → 再作上下限校核 → 越限则钳位并二次分配」；② 判别的实质是 KKT 条件：上限机组须有 dFi/dPi ≤ λ，下限机组须有 dFi/dPi ≥ λ；③ 当所有机组都顶在边界上时 λ 不唯一，只落在一个区间内；④ 系统边际成本由自由机组的微增率决定，本例 (a) 中即为机组 1 的 201.60 ¥/MWh；⑤ 千万不要把越限出力「直接截断」了事——截断会破坏功率平衡，必须重新分配剩余负荷。
例 2 · 计及网损的协调方程、罚因子与 λ 迭代（B 系数法）
题目：某系统两台火电机组的耗量（燃料费用）特性为
已知条件
F1(P1) = 0.003 P12 + 210 P1 + 1200 （¥/h）， 100 MW ≤ P1 ≤ 600 MW
F2(P2) = 0.006 P22 + 210 P2 + 1500 （¥/h）， 50 MW ≤ P2 ≤ 500 MW
网损（B 系数法）：PL = 2.0 × 10−5 P12 + 2.0 × 10−5 P22 （MW）
系统总负荷 PD = 600 MW。求最优分配、网损、罚因子与总费用，并与不计网损的方案比较。
F2(P2) = 0.006 P22 + 210 P2 + 1500 （¥/h）， 50 MW ≤ P2 ≤ 500 MW
网损（B 系数法）：PL = 2.0 × 10−5 P12 + 2.0 × 10−5 P22 （MW）
系统总负荷 PD = 600 MW。求最优分配、网损、罚因子与总费用，并与不计网损的方案比较。
思路：计及网损后不能再用简单的等微增率，而要用协调方程
协调方程（含网损）
dFi/dPi = λ ( 1 − ∂PL/∂Pi ) ， dFi/dPi = 2aiPi + bi
∂PL/∂P1 = 2 × 2.0×10−5 P1 = 4.0 × 10−5 P1， ∂PL/∂P2 = 4.0 × 10−5 P2
配合功率平衡：P1 + P2 = PD + PL = 600 + PL
∂PL/∂P1 = 2 × 2.0×10−5 P1 = 4.0 × 10−5 P1， ∂PL/∂P2 = 4.0 × 10−5 P2
配合功率平衡：P1 + P2 = PD + PL = 600 + PL
第一步：把协调方程整理成 Pi(λ) 的显式表达（关键变形）。
变形步骤
2aiPi + bi = λ − λ · 2BiiPi
⇒ ( 2ai + 2λBii ) Pi = λ − bi ⇒ Pi(λ) = ( λ − bi ) / ( 2ai + 2λBii )
本题：P1(λ) = (λ − 210) / (0.006 + 4.0×10−5λ) P2(λ) = (λ − 210) / (0.012 + 4.0×10−5λ)
⇒ ( 2ai + 2λBii ) Pi = λ − bi ⇒ Pi(λ) = ( λ − bi ) / ( 2ai + 2λBii )
本题：P1(λ) = (λ − 210) / (0.006 + 4.0×10−5λ) P2(λ) = (λ − 210) / (0.012 + 4.0×10−5λ)
易错点：分母里的 λ 是网损修正带来的耦合项，绝不能省略。若写成 Pi = (λ − bi)/(2ai) 就倒退回了不计网损的公式——这正是初学者最常见的错误。
第二步：把功率平衡写成关于 λ 的一元方程（残差函数）。
残差函数（单调、可求根）
G(λ) = P1(λ) + P2(λ) − PL(λ) − PD = 0
其中 PL(λ) = 2.0×10−5 [ P12(λ) + P22(λ) ]
在物理可行区间内 G(λ) 单调递增，用二分法或牛顿法求根即可
其中 PL(λ) = 2.0×10−5 [ P12(λ) + P22(λ) ]
在物理可行区间内 G(λ) 单调递增，用二分法或牛顿法求根即可
第三步：λ 迭代（牛顿法，从 λ = 212 出发）。
| 迭代 k | λ (¥/MWh) | P₁ (MW) | P₂ (MW) | P_L (MW) | G(λ) = ΣP−P_L−P_D |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 212.0000 | 138.122 | 97.656 | 0.5723 | −364.79 |
| 1 | 215.1247 | 350.884 | 248.709 | 3.6998 | −4.11 |
| 2 | 215.1606 | 353.312 | 250.438 | 3.7510 | −0.0005 |
| 3 | 215.1606 | 353.313 | 250.438 | 3.7510 | 0.0000 |
只用了 3 次迭代就收敛到 4 位有效数字，可见牛顿法在残差函数上求根的效率很高。每一步都满足协调方程，最后一步功率平衡残差为零。
最终结果与完整校核
λ* = 215.1606 ¥/MWh
P1 = 353.31 MW，P2 = 250.44 MW （两台机组均在限值内，属内部解）
PL = 2.0×10−5 × 353.31282 + 2.0×10−5 × 250.43822 = 2.4966 + 1.2544 = 3.7510 MW（网损率 0.625 %）
∑Pi = 353.3128 + 250.4382 = 603.7510 MW；PD + PL = 600 + 3.7510 = 603.7510 MW ✔ 功率平衡完全成立
P1 = 353.31 MW，P2 = 250.44 MW （两台机组均在限值内，属内部解）
PL = 2.0×10−5 × 353.31282 + 2.0×10−5 × 250.43822 = 2.4966 + 1.2544 = 3.7510 MW（网损率 0.625 %）
∑Pi = 353.3128 + 250.4382 = 603.7510 MW；PD + PL = 600 + 3.7510 = 603.7510 MW ✔ 功率平衡完全成立
罚因子与协调方程校验
∂PL/∂P1 = 4.0×10−5 × 353.3128 = 0.014133 ⇒ L1 = 1/(1 − 0.014133) = 1.014335
∂PL/∂P2 = 4.0×10−5 × 250.4382 = 0.010018 ⇒ L2 = 1/(1 − 0.010018) = 1.010119
dF1/dP1 = 0.006 × 353.3128 + 210 = 212.1199，212.1199 × 1.014335 = 215.1606 ✔ = λ*
dF2/dP2 = 0.012 × 250.4382 + 210 = 213.0053，213.0053 × 1.010119 = 215.1606 ✔ = λ*
两台机组的微增率并不相等（212.12 ≠ 213.01），但折算到同一水平后完全相等——这就是网损修正的本质
∂PL/∂P2 = 4.0×10−5 × 250.4382 = 0.010018 ⇒ L2 = 1/(1 − 0.010018) = 1.010119
dF1/dP1 = 0.006 × 353.3128 + 210 = 212.1199，212.1199 × 1.014335 = 215.1606 ✔ = λ*
dF2/dP2 = 0.012 × 250.4382 + 210 = 213.0053，213.0053 × 1.010119 = 215.1606 ✔ = λ*
两台机组的微增率并不相等（212.12 ≠ 213.01），但折算到同一水平后完全相等——这就是网损修正的本质
费用计算
F1 = 0.003 × 353.31282 + 210 × 353.3128 + 1200 = 374.49 + 74195.68 + 1200 = 75770.17 ¥/h
F2 = 0.006 × 250.43822 + 210 × 250.4382 + 1500 = 376.32 + 52592.02 + 1500 = 54468.34 ¥/h
计及网损最优方案总费用 = 75770.17 + 54468.34 = 130238.51 ¥/h
F2 = 0.006 × 250.43822 + 210 × 250.4382 + 1500 = 376.32 + 52592.02 + 1500 = 54468.34 ¥/h
计及网损最优方案总费用 = 75770.17 + 54468.34 = 130238.51 ¥/h
第四步：与不计网损的方案比较（这才是网损修正的价值所在）。不计网损时按等微增率分配 600 MW 负荷，得 λ0 = 212.4000，P1 = 400.00 MW，P2 = 200.00 MW（两者微增率都等于 212.40）。但把这组出力代回实际的网损公式：
对照方案（不计网损的分配）
PL(0) = 2.0×10−5 × 4002 + 2.0×10−5 × 2002 = 3.2 + 0.8 = 4.0 MW
∑Pi = 600 MW，而 PD + PL = 604 MW ⇒ 缺额 4 MW，该方案并不可行
若按 400 : 200 的比例把出力放大到 604 MW（P1 = 402.67，P2 = 201.33，PL = 4.054 MW）：
费用 = 0.003×402.672+210×402.67+1200 + 0.006×201.332+210×201.33+1500 = 130290.00 ¥/h
计及网损最优方案 = 130238.51 ¥/h ⇒ 节省 51.49 ¥/h
∑Pi = 600 MW，而 PD + PL = 604 MW ⇒ 缺额 4 MW，该方案并不可行
若按 400 : 200 的比例把出力放大到 604 MW（P1 = 402.67，P2 = 201.33，PL = 4.054 MW）：
费用 = 0.003×402.672+210×402.67+1200 + 0.006×201.332+210×201.33+1500 = 130290.00 ¥/h
计及网损最优方案 = 130238.51 ¥/h ⇒ 节省 51.49 ¥/h
为什么节省不多？因为本例两台机组的成本水平相近（b1 = b2 = 210）、网损微增率也相近（0.0141 与 0.0100），罚因子只差 0.4%。若把网损系数或机组位置差异拉大（例如把机组 2 放在远离负荷中心的节点，B22 取 1.0×10−4），罚因子的差异就会显著放大，网损修正的效益也随之上升。这也解释了为什么大机组、远距离输电的系统中网损修正特别重要。
小结：① 计及网损后满足的是协调方程 dFi/dPi = λ(1 − ∂PL/∂Pi) = λ/Li，各机组名义微增率不再相等；② 罚因子 Li = 1/(1 − ∂PL/∂Pi) ≥ 1，网损微增率越小（越靠近负荷中心）的机组罚因子越小、越应多发；③ 标准解法是「先把协调方程解成 Pi(λ) → 再令 G(λ) = ∑Pi − PL − PD = 0 求根」；④ 不计网损的方案在计及网损后会出现功率缺额，必须先按比例补齐再比费用，否则比较口径不一致；⑤ B 系数与运行方式强相关，负荷水平或网络结构改变后必须重新计算。本页「工具二」可以实时验证本例的罚因子与协调方程校核。